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Publié par jlgdu54

Au lieu de compter les moutons pour m'endormir quand j'étais petit, il m'est arrivé d'égrainer les carrés...

Les maths peuvent être un bon compagnon de jeu.

Quand j'étais petit, j'avais remarqué que la progression des carrés des nombres entiers observait une règle bien amusante.

Le carré de 1, c'est 1.

Le carré de 2, c'est 4, soit 3 de plus que pour 1.

Le carré de 3, c'est 9, soit 5 de plus que pour 2.

Le carré de 4, c'est 16, soit 7 de plus que pour 3.

En continuant comme ça, on se rend compte qu'à chaque fois, l'écart entre les carrés successifs augmente de deux.

Pour trouver les carrés suivants, il suffira d'ajouter 9 (25), puis 11 (36), puis 13 (49) et ainsi de suite.

Mais pourquoi donc faut-il ajouter 2 de plus à chaque fois ?

Du coup, j'avais trouvé pourquoi, et la règle était finalement encore plus drôle.

Pour passer du carré de 1 à celui de 2, on ajoute 1 et 2, cela donne 3. L'écart entre le carré de 1 et le carré de 2 est égal à la somme de 1 et de 2. Magique !

Surtout, si ça marche pour tous les autres nombres !

Et ça marche à chaque fois !

Allez, je choisis 9 et 10. Le carré de 9, c'est 81, le carré de 10, c'est 100. La différence fait bien 19, soit 9 + 10.

Du coup, le carré de 20, je savais que c'était 400, donc le carré de 21, ce sera 41 de plus (20+21), donc 441, j'avais été plus vite que de poser ma multiplication (21 x 21) pour trouver le résultat.

Je savais par cœur le carré de 25 : 625, donc le carré de 26, c'est 676.

Fastoche !

Prenons un nombre entier a, en s'amusant on a donc trouvé que a au carré est égal à (a-1) au carré, plus a, plus (a-1).

On pourra généraliser la trouvaille du jeune gamin, en ne se contentant pas d'observer que les carrés des nombres qui se suivent.

Le carré de 3, c'est 9 et le carré de 5, c'est 25, la différence entre ces carrés doit être de 3+4, plus 4+5, donc 16. Tiens, 16, c'est le carré de 4, mais aussi la multiplication de 8 (5+3) par 2 (5-3). Curieux !

Le carré de 6, c'est 36, le carré de 9, c'est 81, la différence fait 45 : 6+7, plus 7+8 et plus 8+9, donc en fait 3x15, c'est-à-dire 3 fois la somme de 6 et de 9. Et 3, c'est justement leur différence (9-6), dingue, ça !

On prend donc deux nombres, a et b, la différence de leurs carrés est égale à la multiplication de leur somme par leur différence, la fameuse formule a² -b² = (a+b) (a-b).

Si a=3 et b=2, cela donne : 9 - 4 = (3+2) x (3-2).

Quand a et b se suivent, leur différence est 1, et donc la multiplication (a+b) (a-b) se limite à l'addition a+b, ce qui était ma trouvaille de gamin quand j'observais la progression du carré des premiers nombres entiers.

La découverte des maths amusantes.
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